深度学习古泥板上数的奥秘

——探索勾股数集的结构

广东省佛山市顺德区大良街道凤城实验学校 李永红 李典

云南师范大学研究生院教育学院    李雄

[摘要] 古泥板上的数，是15组勾股数。在告诉我们寻找勾股数的方法。这样一来，我们就可以把勾股数组成的集合写成G₀=｛（a、b、c）a=2mn，b=m² － n²，c=m²+n²，m>n，mz+，nz+}。勾股数集G₀并没有囊括所有的勾股数组，但并不说勾股数集G₀的结构是杂乱无章的。事实上，勾股数集G₀是可以划分。分为三类就可以简写为G₀=G₀₁G₀₂G₀₃。这里的G₀₁是G₀的基集。奇怪的是，不属于勾股数集G₀的勾股数组组成的集合也是以G₀₁为基集合的，可以由G₀₁衍生出来。不属于勾股数集G₀的勾股数组组成的集合我们称为G₁，G₁=｛（ta、tb、tc）a=2mn，b=m² － n²，c=m²+n²，m>n，mz+，nz+，（ta、tb、tc）=t，tz⁺、^，t≠p²、t≠2p²、pz⁺}。

[关键词]古泥板上的数、勾股数集、勾股数集的划分、勾股数集的基集、勾股数集全集、勾股数集的结构。

美国哥伦比亚大学收藏了一块古巴比伦时代的泥板，经科学家研究，发现这块泥板上的三列文字实际上是三列数字，数学上又称数阵。下面我们给予详细解读。

一、观察了解。这个数阵有三列十五行，总共45个数，都是正整数。45又是九个五，在我们中华民族文明史上素有“九五至尊”之说，所以在我们看来，泥板上偏偏只收纳45个数，意味着收纳者绝非等闲之辈，不是王者也是主教，就是一般学者也是为此耗费毕生心血的大智慧者学问家；收纳者只收45个整数，是不要人夸颜色好只留清气满乾坤。不过古巴比伦是否有此一说，尚待考证，我们姑且如此解读。从上下排列的列上看有3列，第一列15个数全是偶数，从大小上看毫无章法；第二列15个数，前14个都是奇数，最后一个是偶数，从大小上看也看不出有什么顺序；第三列的15个数，前14个数也都是奇数，最后一个是偶数，从大小上看也看不出什么次序。显然这不是有着日期顺承关系的流水帐，按着日期的顺序一天一天记下来的。从左右排列的行上看有15行，每行三个数，前两个数都要比后面的第三个数小。

二、探究理解。15行的每一行，不仅前两个数a、b都比后一个数c小，而且前两个数的平方和等于后一个数的平方，满足等式a²+b²=c²。人们往往把满足等式a²+b²=c²的正整数a、b、c称为勾股数，因此，这15行数是15 组勾股数。原来古泥板上的数阵就是一个由15组勾股数为元素的勾股数集。前14组勾股数除去第十一组外的每一组的三个数除了公因数是1外再也没有其它的公因数，简称三个数互质（或互素），记为（a、b、c）=1，最后一组的三个数最大公因数是2，记作（90、56、106）=2；第十一组的公因式是15，记作（60，45。75）=15。

三、深度学习。既然前14行每一行的后两个数有一个共同的特征，都是奇数，两个奇数的和或差一定是偶数，那么我们不妨把每一行后面的两个分别相加、相减，得出两个偶数来，看看有没什么特征。

1、119+169=288，       169 —119=50

2、3367+4825=8182，    4825 — 3367=1458

3、4601+6649=11250，   6649 — 4601=2048

4、12709+18541=31225， 18541 — 12709=5832

5、65+97=162，           97 — 65=32

......

没错，结果都是偶数，除此之外看不出有什么明显的特征。但既然是偶数，我们再都除以2，看看又能得出什么样的数。

1、288÷2=144，50÷2=25

2、8182÷2=4096，1458÷2=729

3、11250÷2=5625，2048÷2=1024

4、31225÷2=15625，5832÷2=2916

5、162÷2=81，32÷2=16

......

这些数，特征就显现出来了，尽管有的是奇数也有的是偶数，但都是一个正整数的平方数。和，除以2商出的数大，差，除以2商出的数小，但都是一个正整数的平方数，我们不妨设大数的正整数为m，小数的正整数为n，由于m²大于n²，所以两个正整数m、n的大小是：m大于n。

那么每一行的m、n与同行的第一个偶数有关吗？我们来看看每一行的m、n和第一个数a：

1、m²=144，n²=25，m=12，n=5    a=120

2、m²=4096，n²=729，m=64，n=27，a=3456

3、m²=5625，n²=1024    m=75，n=32，a=4800

4、m²=15625， n²=2916   m=125，n=54，a=13500

5、 m²=81   n²=16         M=9，n=4，a=72

......

每一行的m与n相乘，积都是a的一半，也就是

mn=a，反过来，就是：a=2mn。

同样我们由式 ｛反过来也可以得到：

｛。

原来这些数，在告诉我们，每一行的三个正整数a、b、c，不仅满足a²+b²=c²，是勾股数，而且还在告诉我们寻找勾股数的方法。寻找勾股数a、b、c的方法是，先任意取两个正整数m、n，不妨使m大于n，算出a=2mn，b=m² —n²，c=m²+n²，就可以得到一组勾股数a、b、c。如取m=50，n=27，就可以得到a=2700，b=1771，c=3229，而（2700，1771，3229）就是古泥板上的第十行的三个勾股数。

这样一来，我们就可以把勾股数组成的集合写成G₀=｛（a、b、c）a=2mn，b=m² － n²，c=m²+n²，m>n，mz+，nz+}.古泥板上最后一行的勾股数（90，56，106）尽管都是偶数，与其余14行的勾股数不同，但也属于集合G₀中的一个元素。当取m=9，n=5时，a=2×9×5=90，b=9²－5²=56，c=9²+5²=106，可见，（90，56，106）G₀。由此可见，勾股数集G₀不只含有互质的勾股数，还含有公因数为2的勾股数。公因式是2的勾股数很多，如（16，30，34）是取m=5，n=3的勾股数；（18，80，82）是取m=9，n=1时的勾股数；（126，32，130）是取m=9，n=7时的勾数；即（16，30，34）G₀，（18，80，82）G₀，（126，32，130）G₀。

我们知道有公因数为2的数就是偶数，那么是否可以说勾股数集G₀ 是含有所有偶数勾股数组元素的勾股数集呢？答案是否定的，如（18，24，30）就不存在m、n，使a=2mn=18，b=m² － n²=24，c=m²+n²=30，或使a=2mn=24，b=m²－n²=18，c=m²+n²=30即（18，24，30）G₀。又如（42，56，70）G₀；（154，528，550）G₀，（72，96，120）G₀。

何止这样类型的偶数勾股数不属于G₀，就是很多公因数为奇数的勾股数也不属于G₀，如古泥板上第十一行的勾股数（60，45，75）G₀。而（60，45，75）的公因式是15。这样类型的勾股数也是大量存在的，如（9，12，15）G₀，（21，28，35）G₀，（132，55，143）G₀，（82，63，105）G₀，但这不是说所有的有公因数为奇数的勾股数都不属于勾股数集G₀，还是有不少含有奇数公因数的勾股数属于勾股数集G₀，如（27，36，45）就属于勾股数集G₀，因为取m=6，n=3时，就可得到a=2mn=263=36，b=m²-n²=6²-3²=27，c=m²-n²=45。

这么说来，勾股数集G₀既含有互质的勾股数组，又含有一些公因式为奇数的勾股数组，也含有一些公因数为偶数的勾股数组；而且又有些公因数为奇数的勾股数组不属于勾股数集G₀，也有些公因数为偶数的勾股数组不属于勾股数集G₀，也就说勾股数集G₀并没有囊括所有的勾股数组，但并不说勾股数集G₀的结构是杂乱无章的。

事实上，勾股数集G₀是可以划分的，可以简单地划分为两类，也可以详细地划分为三类。分为两类即是

G₀=｛（a、b、c）a=2mn，b=m² － n²，c=m²+n²，m>n，mz⁺，nz⁺}

=｛（a、b、c）a=2mn，b=m² － n²，c=m²+n²，m>n，mz⁺，nz⁺，（a、b、c）=p²，pz⁺}｛（a、b、c）a=2mn，b=m² － n²，c=m²+n²，m>n，mz+，nz+，（a、b、c）=2p²，pz⁺}。

分为三类即是

G₀=｛（a、b、c）a=2mn，b=m² － n²，c=m²+n²，m>n，mz⁺，nz⁺}

=｛（a、b、c）a=2mn，b=m² － n²，c=m²+n²，m>n，mz⁺，nz⁺，（a、b、c）=1}｛（a、b、c）a=2mn，b=m² － n²，c=m²+n²，m>n，mz⁺，nz⁺，（a、b、c）=p²，p≠1，pz⁺}｛（a、b、c）a=2mn，b=m² － n²，c=m²+n²，m>n，mz+，nz+，（a、b、c）=2p²，pz⁺}。

如果设

G₀₁=｛（a、b、c）a=2mn，b=m² － n²，c=m²+n²，m>n，mz⁺，nz⁺，（a、b、c）=1}，

G₀₂=｛（a、b、c）a=2mn，b=m² － n²，c=m²+n²，m>n，mz⁺，nz⁺，（a、b、c）=p²，p≠1，pz⁺}，

G₀₃=｛（a、b、c）a=2mn，b=m² － n²，c=m²+n²，m>n，mz+，nz+，（a、b、c）=2p²，pz⁺}，

那么分为三类就可以简写为G₀=G₀₁G₀₂G₀₃。这里的G₀₁是G₀的基集，也说是说，G₀中的G₀₂是可以由G₀₁衍生出来的，G₀中的G₀₃也是可以由G₀₁衍生出来的，用数学符号表示则为：（其中p≠1，）与之对应；       （其中 ）与之对应。所以不妨把等式G₀=G₀₁G₀₂G₀₃，简写成G₀=G₀₁P²G₀₁2P²G₀₁。

奇怪的是，不属于勾股数集G₀的勾股数组，也就是说勾股数集G₀以外的勾股数组组成的集合也是以G₀₁为基集合的，可以由G₀₁衍生出来。不属于勾股数集G₀的勾股数组组成的集合我们称为G₁，G₁=｛（ta、tb、tc）a=2mn，b=m² － n²，c=m²+n²，m>n，mz+，nz+，（ta、tb、tc）=t，tz⁺、^，t≠p²、t≠2p²、pz⁺}。

勾股数集G₁也可进行划分，可以划分成两个子集G₁₁和G₁₂，即G₁=G₁₁G₁₂其中

G₁₁=｛（ta、tb、tc）a=2mn，b=m² － n²，c=m²+n²，m>n_，mz+，nz+，（ta、tb、tc）=t=2k+1，kz⁺、t≠p²、pz⁺}，

G₁₂=｛（ta、tb、tc）a=2mn，b=m² － n²，c=m²+n²，m>n，mz+，nz+，（ta、tb、tc）=t=2k，kz⁺、k≠p²、k≠2p²、pz⁺}，这个划分是按勾股数的奇偶性来划分的，G₁₁是公因数为奇数的勾股数集，G₁₂是公因数是偶数的勾股数集。

至此，我们清楚了，勾股数全集G也是可以简单地划分为两类G₀和G₁，详细地就要划分为以G₀₁为基集合的连同它自己的五个子集构成的，即是

G=G₀G₁=G₀₁G₀₂G₀₃G₁₁G₁₂，

这五个子集每两个的交集都是空集，但都是由G₀₁衍生而成的，因此可以统一写成：

G=｛（a、b、c）a=2tmn，b=t（m² － n²），c=t（m²+n²），m>n，mz⁺，nz⁺、tz⁺}。

G₀中的每一组勾股数是由两个正整数m、n确定的，是二维勾股数，可以叫做平面勾股数，G₁中的每一组勾股数是由三个正整数m、n、t(t≠1)确定的，是三维的，可以叫做立体勾股数。有趣的是G₀₂和G₀₃既可以由两个正整数确定，也可以由三个正整数确定，因此既可以叫平面勾股数，也可以叫做立体勾股数。勾股数基集G₀₁中的每一组勾股数只能是二维的平面勾股数，不是三维的立体勾股数。

遗憾的是，古泥板上的数对两类勾股数无一例收纳，一类是象（243，324，405），属于G₀₂的勾股数；一类是象（84，112，130），属于G₁₂的勾股数，无一例编排。此所谓是智者千虑必有一失，但毕竟是瑕不掩玉。这块古巴比伦时代的泥板岂只是泥板，完全是块智慧的美玉,闪烁着耀眼的光芒，在古巴比伦泥板书中是那么地璀璨夺目。