从一道小学奥数题谈起的空间划分问题
湖南省长沙市明德中学 410004 黄志海
云南师范大学附属中学 650106 周文颖
摘要：数学的发展往往都会经历着从特殊到一般，从低维到高维的变化.如果我们能够把一些简单的、特殊的问题推广到更为一般的情况，就可以更好的培养学生思维的敏锐性与发散性；而且这种由点到面的拓展会让知识内容更加完备，更符合我们碰到的实际情况；从解决简单问题，到自己“创造”更为复杂的问题，到最后再解决自己“创造”的问题，从而对数学思维进行一次深度的洗礼与升华.
关键词： 切蛋糕 平面 空间 划分
题目：在一次聚会上，一共有
个来宾，只有一个大型蛋糕，要求只能竖着切，不能横着或斜着切，请问至少需要切多少刀才可以保证每人一块蛋糕？不考虑每一块蛋糕的大小.
对于大多数人来说，这道题目下手比较难，因为这是一道应用题，不能够直接利用我们的数学知识来解.而应用题的关键就在于找出对应的数学模型，把应用型问题转化成纯数学问题来解决.看完上面的题目后，如果我们能够联想到这样一个数学问题：要把一个平面分为
块，至少需要多少条直线？相信很多人都能够很快的给出解答.
所以这个题目，就是在考察我们知识迁移的能力，能够把直线分平面的知识应用到切蛋糕问题。请看下图：
当
时，最多把蛋糕分为
块
当
时，最多把蛋糕分为
块
当
时，最多把蛋糕分为
块
…
当
时，最多把蛋糕分为
块
所以只要找一个最小的
使得
，即
，经验证当
时满足要求，即最少需要
刀，可以将蛋糕切成
块.
拓展1：
如果我们将这个题目再改编一下: 在一次聚会上，一共有
个来宾，只有一个大型蛋糕，既可以竖直切，又可以横向水平切，请问至少需要切多少刀才可以保证每人一块蛋糕？不考虑每一块蛋糕的大小.
可以这样来考虑这个问题，竖直方向切还是按照上面的方法，水平横向切，每切一刀都会增加相同的数量，比如当竖直方向切
刀后，再水平横向切，每切一刀都会增加
块蛋糕。所以如果假设竖直方向切
刀，水平横向切
刀，那么得到的蛋糕块数应该是：
. 要解决此问题，只需求满足
的自然数
、
，且使
最小即可. 不妨设
，
，
，则问题等价于在
的条件下，求
的最小值.
由
，可得
.
对任意
，当
时，
；当
时，考虑函数
，因为
，
，所以
在
上单调递增. 令
，由
，得
. 结合
单调性，可知函数
在
单调递减，在
单调递增. 故
，所以
.
接下来对双元整数的的取值问题，进行一一验证：.
对
，
，当
时，
；当
时，
；
当
时，
；当
时，
；当
时，
. 以上均满足
.
综上可知，当
，即最少需要切
刀将蛋糕分成2010块.
拓展2：
如果再将这个切蛋糕的要求更随意一些：在一次聚会上，一共有
个来宾，只有一个大型蛋糕，不仅可以竖直切、水平横向切，还可以以任意方向任意角度斜向切，请问至少需要切多少刀才可以保证每人一块蛋糕？不考虑每一块蛋糕的大小.
这一个问题显然比前两个问题复杂很多，因为切的方式太随意了，以至于我们找不到一个规律，但是如果将这个问题再进行知识迁移，转化到一个纯数学问题来解决，那就简单的多了.如果将这个蛋糕看成一个空间，每切一次看成一个截面，就可以将这个问题转化到空间中的
个平面最多可以将空间分成几个部分的纯数学问题了.
令第
个平面最多将空间分成
个部分，第
个平面与前面
个平面最多有
条交线，这
条交线最多可以将第
个平面分成
个部分，而每一个部分把对应的空间一分为二，所以每一个部分都会使得空间增加
个部分。所以得：
，而
，累计求得：
由
，尝试可求得
即可，所以只要切
刀即可将蛋糕分成
块.
从“竖直切”到“竖直切、水平切”再到“任意切”，通过切蛋糕这个背景把直线分平面，平面分空间的问题紧密联系起来，这种问题串不仅更具有趣味性，而且更符合我们思考问题的逻辑。通过这种递进式的问题，不断建模解模，逐渐将这个划分问题一般化.
